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1998年考研数学二真题及答案(1998年考研数学难度)

1、1998年考研数学二真题及答案一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分,把答案填在题中横线上.)(1) .(2) 曲线与轴所围成的图形的面积 .(3) .(4) 设接连,则 .(5) 曲线的渐近线方程为 .二、选择题(本题共5小题,每小题
1998年考研数学二真题及答案(1998年考研数学难度)插图
3分,共15分.在每小题给出的四个选项中,只需一项契合标题需求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1) 设数列与满足,则下列断语正确的是 ( )(a) 若发散,则发散 (b) 若无界,则必有界(c) 若有界,则必为无量小 (d) 若为无量小,则必为无量小(2) 函数的不可以导点的个数是 ( )(a) 0 (b) 1 (c) 2 (d) 3(3) 已知

2、函数在任意点处的增量其间是比高阶的无量小,且,则 ( )(a) (b) (c) (d) (4) 设函数在的某个邻域内接连,且为其极大值,则存在,其时,必有 ( )(a) (b) (c) (d) (5) 设是任一阶方阵,是其伴随矩阵,又为常数,且,则必有 ( )(a) (b) (c) (d) 三、(本题满分5分)求函数在区间内的接连点,并判别其类型.四、(本题满分5分)断定常数的值,使五、(本题满分5分)使用代换将方程化简,并求出原方程的通解.六、(本题满分6分)核算积分.七、(本题满分6分)从船上向海中沉放某种勘探仪器,按勘探需求,需断定仪器的下沉深度(从海平面算起)与下沉速度之间的函数联络.

3、设仪器在重力作用下,从海平面由中止初步铅直下沉,鄙人沉进程中还遭到阻力和浮力的作用.设仪器的质量为,体积为,海水比重为,仪器所受的阻力与下沉速度成正比,比例系数为.试树立与所满足的微分方程,并求出函数联络式.8、(本题满分8分)设是区间上的任一非负接连函数.(1) 试证存在,使得在区间上认为高的矩形面积,等于在上认为曲边的梯形面积.(2) 又设在区间内可导,且,证明(1)中的是仅有的.九、(本题满分8分)设有曲线,过原点作其切线,求由此曲线、切线及轴围成的平面图形绕 轴旋转一周所得到的旋转体的表面积.十、(本题满分8分)设是一贯上凸的接连曲线,其就任意一点处的曲率为,且此曲线上点处的切线方程为

4、,求该曲线的方程,并求函数的极值.十一、(本题满分8分)设,证明:(1) (2) 十二、(本题满分5分)设,其间是4阶单位矩阵,是4阶矩阵的转置矩阵,求.十三、(本题满分8分)已知,问:(1) 取何值时,不能由线性标明?(2) 取何值时,可由线性标明?并写出此表达式.答案一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分,把答案填在题中横线上.)(1)【答案】办法1:用四则运算将分子化简,再用等价无量小替换,原式.办法2:选用洛必达规则.原式.办法3:将分子按佩亚诺余项泰勒公式打开至项, ,然后 原式.(2)【答案】【分析】求曲线与轴围成的图形的面积,应清楚白位于轴上方仍是下方,为此,要先求此曲

5、线与轴交点.与轴的交点,即的根为其时,;其时,然后(3)【答案】因为,所以 .(4)【答案】作积分变量代换,.【有关常识点】1.对积分上限的函数的求导公式:若,均一阶可导,则.(5)【答案】题中未说啥渐近线,所以三类渐近线都要思考.由曲线方程知,铅直渐近线可以在两处:及,但题设,所以不予思考,思考的情况.其时,所以无铅直渐近线;因 故无水平渐近线.再思考斜渐近线:,(时,)所以有斜渐近线.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,共15分,在每小题给出的四个选项中,只需一项契合标题需求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1)【答案】(d)办法1:直接使用无量小量的性质可以证明(d)是正确的.

6、 由及可知为两个无量小之积,故亦为无量小,应选(d).办法2:打扫法.(a)的反例:满足题设,但不发散;(b)的反例:,满足,但不是有界数列;(c)的反例:有界数列,满足,但不是无量小;打扫去(a)、(b)、(c),故选(d).(2)【答案】(b)当函数中呈现必定值号时,就有可以呈现不可以导的“尖点”,因为这时的函数是分段函数.,其时可导,因而只需在处查询是不是可导.在这些点咱们别离查询其左、右导数.由 ,即在处可导.又,所以在处不可以导.类似,函数在处亦不可以导.因而只需2个不可以导点,故应选(b).(3)【答案】(a)由有令得是的高阶无量小,则,即 .别离变量,得 两端积分,得 ,即代入初始条件得所

7、以,.故 (4)【答案】(c)由是的极大点,知存在,其时,即.因而,其时,其时,.所以,(a)与(b)都不正确.已知在处接连,由函数在一点接连的界说可知,再由极限四则运算规则可得.应选(c).(5)【答案】(b)对任何阶矩阵都要树立的联络式,对特别的阶矩阵天然也要树立.那么,当可逆时,由,有.故应选(b).一般地,若,有,那么矩阵的第部队元素的代数余子式为即中每个元素的代数余子式刚好是相应元素的代数余子式的倍,因而,按伴随矩阵的界说知的元素是对应元素的倍.三、(本题满分5分)【分析】由接连点的界说可知,函数无界说的点必定是接连点,故可以先找出函数无界说的点,再谈论判别出接连点的类型.在区间内的

8、接连点为无界说的点,即各点.在处,;在处,故为的第二类接连点;在处,;在处,但相应的函数值在该点无界说,故在处为可去接连点.四、(本题满分5分)【分析】处置这类疑问,原则上与求极限差不多,可是因为其间富含某些参数,比方在用洛必达规则前,极限是不是为“”型或“”型,要先行谈论,经过谈论,有时就可以揣度出其间参数的特征,然后再求极限,这是一类常考的标题.其时,又由题设所以应有(否则与敌对),然后只需,因而满足洛必达规则的条件,用洛必达规则求其极限.(其时,)假定,则右边极限为,与原设左面敌对,故,所以上述等式变成(其时,)所以最终得五、(本题满分5分)办法:由,有代入原方程,得. (*)先求其相应齐

9、次方程的通解,因为其特征方程为,则特征方程的根为.所以通解为 (为任意常数).再求非齐次方程的特解,特解应具有方法,代入(*)式,得解得,因而.故(*)的通解为,(为任意常数).所以,原微分方程的通解为.办法:由,所以原方程化为(以下与办法相同)六、(本题满分6分)其时,被积函数的极限,就是被积函数的无量接连点,故所给的是广义积分. 其间, 求:设则,所以, .七、(本题满分6分)先树立坐标系,取沉放点为原点,铅直向下作为轴正向,勘探器鄙人沉进程中受重力、浮力和阻力的作用,其间重力巨细:,浮力的巨细:;阻力:,则由牛顿第二规则得 (*)由,代入(*)得与之间的微分方程.别离变量得 ,两端积分得

10、 , (第一类换元法) .再根据初始条件即.故所求与函数联络为8、(本题满分8分)(1)要证,使;令,要证,使.可以对的原函数运用罗尔定理:,又由在接连在接连,在接连,在可导.根据罗尔定理,使.(2) 由,知在内单调增,故(1)中的是仅有的.九、(本题满分8分)先求切线方程:处的切线为.以代入切线方程,解得,切线方程为.(见右图)由曲线段绕轴的旋转面面积而由曲线段绕轴的旋转面面积由此,旋转体的表面积为十、(本题满分8分)由题设及曲率公式,有(因曲线向上凸,),化简得.改写为 ,两端积分得 ,解得 .由题设,曲线上点处的切线方程为,可知.以代入上式,得.所以有,故有(上式中注明区间是的缘由:本题

11、中使正切函数有意义的区间有许多,一般可以写成,本题选择是因为题设曲线在处有值,又已知曲线是一条接连曲线,因而解的规模大约包括在内而且使接连的一个区间.)再积分得又由题设可知,代入断定,所以所求的曲线方程为因为且在界说域内是增函数,所以当且仅其时,即时获得最大值,因为,所以此时也是取极大值,极大值为;显着在没有极小值.十一、(本题满分8分)【分析】不等式的证明一般用单调性来证明,除此之外,还可以用拉格朗日中值公式、拉格朗日余项泰勒公式、最大(小)值来证明.(1)办法1:使用单调性证明.令则在内单调递加,;在内单调递加,;在内单调递加,即.办法2:改写原不等式,其时,故可在不等式两端一起除以,有,

12、两端开平方, .令,故函数在区间上单调削减,由,可知其时,即,然后原不等式树立,证毕.办法3:由办法1,已证所以由的1阶麦克劳林公式(拉格朗日余项)有即,证毕.(2)令,由(1),在单调减,而,且故(*)的通解为,(为任意常数).所以,原微分方程的通解为.办法:由,所以原方程化为(以下与办法相同)六、(本题满分6分)其时,被积函数的极限,就是被积函数的无量接连点,故所给的是广义积分. 其间, 求:设则,所以, .七、(本题满分6分)先树立坐标系,取沉放点为原点,铅直向下作为轴正向,勘探器鄙人沉进程中受重力、浮力和阻力的作用,其间重力巨细:,浮力的巨细:;阻力:,则由牛顿第二规则得 (*)由,代

13、入(*)得与之间的微分方程.别离变量得 ,两端积分得 , (第一类换元法) .再根据初始条件即.故所求与函数联络为8、(本题满分8分)(1)要证,使;令,要证,使.可以对的原函数运用罗尔定理:,又由在接连在接连,在接连,在可导.根据罗尔定理,使.(2) 由,知在内单调增,故(1)中的是仅有的.评注:若直接对运用零点定理,会遇到费事:.其时,对任何的结论都树立;其时,但,若,则难以阐明在内存在.当直接对用零点定理遇到费事时,不妨对的原函数运用罗尔定理.九、(本题满分8分)1 2 x(2,1)oy1先求切线方程:处的切线为.以代入切线方程,解得,切线方程为.(见右图)由曲线段绕轴的旋转面面积而由曲

14、线段绕轴的旋转面面积由此,旋转体的表面积为十、(本题满分8分)由题设及曲率公式,有(因曲线向上凸,),化简得.改写为 ,两端积分得 ,解得 .由题设,曲线上点处的切线方程为,可知.以代入上式,得.所以有,故有(上式中注明区间是的缘由:本题中使正切函数有意义的区间有许多,一般可以写成,本题选择是因为题设曲线在处有值,又已知曲线是一条接连曲线,因而解的规模大约包括在内而且使接连的一个区间.)再积分得又由题设可知,代入断定,所以所求的曲线方程为因为且在界说域内是增函数,所以当且仅其时,即时获得最大值,因为,所以此时也是取极大值,极大值为;显着在没有极小值.十一、(本题满分8分)【分析】不等式的证明一

15、般用单调性来证明,除此之外,还可以用拉格朗日中值公式、拉格朗日余项泰勒公式、最大(小)值来证明.(1)办法1:使用单调性证明.令则在内单调递加,;在内单调递加,;在内单调递加,即.办法2:改写原不等式,其时,故可在不等式两端一起除以,有,两端开平方, .令,故函数在区间上单调削减,由,可知其时,即,然后原不等式树立,证毕.办法3:由办法1,已证所以由的1阶麦克劳林公式(拉格朗日余项)有即,证毕.(2)令,由(1),在单调减,而,且,故即证毕.十二、(本题满分5分)由矩阵运算规则,将等式两端左乘,得,即.对上式两端取转置,有.由可逆矩阵及逆矩阵的界说,可知矩阵均可逆,因为是4阶方阵,故. 十三、

16、(本题满分8分)【分析】能由(不能由)线性表出为列向量的非齐次线性方程组有解(无解),然后将线性表出的疑问转化为方程组解的情况的断定与求解.令,作方程组,并对此方程组的增广矩阵进行初等改换:其间,改换:将第1行乘以-4加到第2行,再将第1行乘以-2加到第4行;改换:第2行加到第1行,再将第2行乘以-1加到第4行,最终3,4行交换.由非齐次线性方程组有解的断定定理,可得(1)其时,线性方程组无解,此时不能由线性表出.(2)其时,线性方程组有仅有解,下面求此仅有解.由以上增广矩阵改换可得线性方程组的同解方程组为,解得仅有解为.故能由线性表出为(3)其时,线性方程组有无量多解.求齐次线性方程组的基础解系.齐次线性方程组的同解方程组为,基础解系所含向量的个数为,选为安适不知道量,取,解得基础解系为.取,解得的一个特解为,则由非齐次线性方程组解的规划可知,方程组的通解为,是任意常数.则能由线性表出,且标明法为无量多(常数可以任意),且.

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