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华东师范大学数学系数学分析考研专业课课程

华东师范大学数学系数学分析考研专业课课程简介:

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材料称号:华东师范大学数学系《数学分析》(第4版)精讲班【教材精讲+考研真题串讲】

华东师范大学数学系数学分析考研专业课课程辅导内容:

(1)精讲教材中心考点。依照教材华章规划,说明教材的重难常识点。

(2)串讲名校考研真题。经过分析历年考研真题,收拾出题规则和特征,分析名校考研真题出题思路。

华东师范大学数学系数学分析视频课程讲师简介:

刘峰,北京航空航天大学数学与体系科学学院数学专业博士,有近6年考研数学辅导经历。“为人师表,礼貌待人,容颜阳光,授课热情四射”这是考研学子的共同好评。主讲《高级数学》,《线性代数》,《mba数学》、《经济联考数学》、《数学与逻辑》及考研中数一、数二、数三等,让学生做到经过界说与技巧、办法的畅通领悟贯穿,高功率的前进数学成果!

授课特征:授课热情汹涌,要点杰出,侧注重技巧与办法的完满联系,关于学生的特征及考试的最新动态量身拟定学习方案。

李春蕊,北京科技大学机械学院热能博士,数理学院数学专业硕士,从事分数阶偏微分方程研讨,宣告多篇sci论文。硕博时刻担任大学及研讨生课程助教,触及数学分析、工科数学分析、高级数学、线性代数、常微分方程、偏微分方程、盖尤踣与数理计算等数学课程。

授课特征:归纳总结,条理清楚,直击要点

单小涵,我国科学院核算技能研讨地址读博士,数学专业研讨生结业,研讨方向为图论与组合最优化。具有多年考研数学辅导经历,对学生成果的前进有很大协助。讲课注重常识体系的构建,擅长总结做题技巧。

授课特征:基础常识厚实,思路清楚,说明生动丰厚。

华东师范大学数学系数学分析考研专业课课程
华东师范大学数学系数学分析视频课程目录:

序号称号

第1章实数集与函数(1)

第1章实数集与函数(2)

第2章数列极限(1)

第2章数列极限(2)

第3章函数极限(1)

第3章函数极限(2)

第4章函数的接连性

第5章导数和微分

第6章微分中值定理及其使用(1)

第6章微分中值定理及其使用(2)

第6章微分中值定理及其使用(3)

第7章实数的齐备性

第8章不定积分(1)

第8章不定积分(2)

第9章定积分(1)

第9章定积分(2)

第10章定积分的使用(1)

第10章定积分的使用(2)

第11章异常积分

第12章数项级数(1)

设函数f(x,y)在点(xo,yo)的邻域内二次接连可微,且f-(x0,yo)=0,fx(x0,yo)>0。

(1)试证:存在yo的6域u(yo,6),使对任何yeu(yo,6)能求得f(x,y)关于x的一个极小值s(y)。

(2)试证:g’(yo)=f,(xo,yo)。

证明:(1)对给定的y,需求f(x,y)关于x的极小值,依照求极值的进程,应对y找出x使得f(x,y)=0(即将y视为常数,对f(x,y)关于x求驻点),也就是说,找由方程fx(x,y)=0所断定的隐函数x=x(y),使得fx(x(y),y)=0。

由已知条件,方程f致(x,y)=0在点(x0,yo)的邻域内满足隐函数存在定理的悉数条件,因而在点(xo,yo)的某个邻域内由方程f(x,y)=0可断定仅有的接连可微函数x=

x(y)满足x0=x(yo),fx(x(y),y)=0,又由fx(x0,yo)>0及其接连性知,存在充分小的8>0,使当y=u(yo,6)时,fx(x(y),y)>0,这标明f(x,y)关于x在点(x(y),y)处获得极小值,记为g(y),即g(y)=f(x(y),y)。

求下列函数的偏导数:

(1)设f(x,y)在r2上二阶接连可微,f(x,2x)=x,fk(x,2x)=x2,且fx(x,y)

=fy(x,y),(x,y)er2,求f,(x,2x),fy(x,2x),fy(x,2x)。

(2)设z=f(x-y,9(xy)),其间f(u,v)具有二阶接连偏导数,o(o)二阶可导,求216xiy。

解:(1)对f(x,2x)=x两端关于x求导得

f.(x,2x)+2f,(x,2x)=1解得

f,(x,2x)=(1-x2)/2对上式及(x,2x)=x2两端关于x求导得

frx(x,2x)+4fxy(x,2x)+4fgy(x,2x)=0,fxx(x,2x)+2fxy(x,2x)=2x解得

fry(x,2x)=5x/3,fy(x,2x)=-48/3

(2)令u=x-y,v=p(xy),则z=f(u,v)

4设f:r2→r2是接连映射,若对r2中的任何有界闭集k,f-1(k)均有界,证明:

f(r2)是闭集。

证明:

任取点列(qn}cf(r2),并设qn→qo(n->0o),欲证f(r2)是闭集,只需证明qoef(r2)即可。

实际上,由r2到r2的映射知,对每一个qn,相应地存在paer2,使得f(pa)=qn,记b(qo;1)={qef(r2)iq-qol≤1}r2,显着它是有界闭集。

由qn→qo(n-→o)可知,n>0,当n>n时,qneb(qo;1)cr2,相应地pmef-

1(b(q0;1))(n>n)。

由已知条件,f-1(b(qo;1))是有界集,所以(pa}n>n是有界点列,由细密性定理,pan>存在收敛子列(a}。,满足p。→b=r2(k-→co)

再由f(p)=9。及f的接连性,令k-→0,可得f(po)=q0,留心到poer2,故qoef(r2)。

5设n(x)是[a,b]上非负接连函数,之么(x)在[a,b]上点态收敛于u(x),证明:

u(x)在[a,b]上必定抵达最小值。

证明:记s,(x)=24(x),则sn(x)递加趋向于u(x),且u(x)≥0,设遮*(x)-4,则存在点列{xk}c[a,b],使limu(xa)=a,由细密性定理知,{xk}存在收敛子列,仍记为

{xk},不妨设x欢→x0(k-0)且xo=[a,b]。

下证:u(x0)=a。

反证法若否则,则=0>0,使u(x0)>a+so,由sn(x0)-→u(x0)(n-→o)知,n>

0,使sn(x0)>a+2s0/3。

由sa(x)在点xo处的接连性知,6>0,当xeu(xo,6)时,有sn(x0)>a+so/3。因为s。(x)递加,故更有u(x)>a+s0/3(当xeu(x0,6)),所以存在恰当大的k,使xk-x0l<6,这样便有u(xk)>a+so/3。

这与u(xx)→a(k-→00)相敌对。

⑤若f。(x)}是[a,b]上的接连函数列,且vx=[a,b],数列(f。(x)
华东师范大学数学系数学分析考研专业课课程插图


}都有界,试证明:

存在闭区问[c,d]c[a,b],使。(x)}[c,d]上共同有界。

证明:用反证法,假定(f。(x)}在任意闭区间[p,ql=[a,b]上都非共同有界,即vk>0,noen+,xoe[p,],使fho(x0)|>k。

因为{f负(x)}在[a,b]上非共同有界,所以对k=1,n1en+,x1=[a,b],使1(x1)1>1,由接连函数的保号性,a1,bi][a,b],使得vx=[a1,b1],有h1(x)l>1且b1-

a1≤(b-a)/2。

又因为(fa(x)}在[a1,b]上非共同有界,所以对k=2,n1en+,且n2>n1,x2=[a1,b1],使fn2(x2)|>2,由接连函数的保号性,[a2,b2]c[a1,b1],使得vx=[a2,b2],有fhq(x2)1>2且b2-a2≤(b-a)/22。

如此下去,可得一个闭区间列[ak,b]},满足

[ak,bx]p[ak+1,bk+1],bk-ak≤(b-a)/2k且vken+,vx=[ak,b],有fk(x)l>k,其间g+1>ke由闭区间套定理,5=[ak,b](k=1,2,.…),使|>k,即数列(f年(5)}的某一个子列fk(5)}无界,则数列{角}无界,这与已知条件敌对。

……

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